Elementos dos sólidos geométricos

Figuras planas e não planas

FIGURAS PLANAS E NÃO PLANAS

                                          

     Observa-se que as formas planas "ficam" no plano e as não-planas "saem" do plano (espaciais); ainda podemos verificar que as figuras planas formam os lados das figuras não-planas (faces).

POLÍGONOS E NÃO POLÍGONOS

      Classificam-se as formas planas em polígonos e não-polígonos.

      O polígono é uma região fechada e deve ter somente contornos retos.

POLIEDROS E NÃO POLIEDROS

Classificam-se as formas não-planas em poliedros e não-poliedros.

Poliedro é um sólido limitado, por um conjunto finito de polígonos, que são denominados faces. Como os poliedros tem contornos retos e são formados por figuras planas, os poliedros não tem formas arredondadas.

Resolução gráfica de um sistema de equações

Resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Para a resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas, é necessário representar em um mesmo plano cartesiano as soluções das duas equações. Assim, teremos duas retas. O ponto de cruzamento dessas retas é a solução do sistema.


Atividade: 
Observe o gráfico e escreva o sistema de equações de duas incógnitas.

 Então, o par ordenado (5,3) é solução do sistema.

Atividades: Triângulos Isósceles e Equiláteros

Atividade sobre ângulos

Estudo dos ângulos

Geometria Plana: àreas (Atividades)

Tarefas: Introdução ao estudo da estatística

     A estatística é uma ciência que trabalha com métodos para coleta, classificação, resumo, organização, análise e interpretação de dados, sendo uma das ciências mais importantes, como suporte à tomada de decisões.
     Face a esta importância os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), incluíram conteúdos de estatística no Ensino Fundamental e Médio como parte do programa da disciplina de Matemática, para o aluno:

    "[...]desenvolver a capacidade de estimar, de prever resultados, de realizar aproximações e de apreciar a

    plausibilidade dos resultados em contexto e de resolução de problemas."

     Visto ao exposto acima, disponibilizamos cinco atividades práticas a serem desenvolvidas:

Estudo dos ângulos

Estudos dos ângulos, clique aqui!

Educação matemática I

Contextualizar a matemática é essencial para todos , se não, lamentavelmente continuamos a insistir que a inteligência e a racionalidade estão identificadas com matemática, continuando assim a papagaiar teoremas , decorar tabuada, mecanizar as operações e efetuar derivadas e integrais, que nada tem a ver com nada nas cidades, nos campos ou nas florestas.
Ubiratan D'Ambrózio - Doutor em matemática

Área do cŕculo

Classificação de triângulos

Educação Matemática

Para Elon Lages Lima*:

"Matemática não se aprende passivamente. Os exercícios ensinam a usar conceitos e proposições, desfazem certos mal-entendidos, ajudam a fixar na mente ideias novas, dão oportunidades para explorar as fronteiras da validez das teorias expostas no texto e reconhecer a necessidade das hipóteses, apresentam a aplicações de teoremas demonstrados e informam o leitor sobre resultados adicionais. [LIMA, Curso de Análise, vol. 1.]"
*Doutor, Univ. Chicago-1958
IMPA/RJ

O problema da caixa

Observe a caixa sem tampa e resolva.
Supõe-se que a caixa tenha as seguintes dimensões:
Largura: X
Comprimento: X+5
Altura: X - 10
Determine a área de papelão da caixa e o seu volume.
 Área: 5x² - 25x - 100 
 Volume: x³ - 5x² - 50x


Na animação abaixo, mova o ponto de corte dos cantos da caixa e observe que a medida que modificamos o corte, altera-se a altura da caixa, que representa seu volume, e a curva (parábola) que é criada, representa o tamanho do corte dos cantos da caixa.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

     Ramo da matemática, aplicada na medida de grandes distâncias, ou seja, aquelas que não conseguimos medir diretamente, utilizando instrumentos tradicionais de medidas. Serve a navegação, à agrimensura e à astronomia.
Ampliando-se seu estudo para a chamada trigonometria esférica, é usada na resolução de problemas da física, química e nas engenharias.

As razões trigonométricas
A palavra trigonometria vem do grego:
                                                       trigono: três ângulos
                                                            metria: medida
   Para entendermos estas razões, devemos entender os conceitos: cateto adjacente, cateto oposto e hipotenusa.
Essas definições estão relacionadas ao ângulo interno do triângulo retângulo que estamos estudando, com exceção da hipotenusa que sempre é o segmento (lado) de maior medida do referido triângulo.
   Pela imagem abaixo, se considerarmos o ângulo C, o lado oposto (cateto oposto) será o segmento AB (lado a). Neste caso, a razão chama-se seno do ângulo C (Sen C).
    Se considerarmos o ângulo agudo A, o lado oposto à este ângulo será o segmento BC (lado c). Visto isso, Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto pela hipotenusa: cateto oposto / hipotenusa.

   Definimos assim o lado oposto ou cateto oposto.
   Por consequência, podemos definir o cateto ajacente, como sendo o outro cateto, logo o Cosseno (cos) de um ângulo é igual a razão do cateto adjacente pela hipotenusa.
   Para concluirmos, definimos a terceira razão trigonométrica, ou seja a razão igual ao cateto oposto pelo cateto adjacente, chama-se tangente (tg).
Logo temos algebricamente:

   Observe no vídeo, que referenciado-nos no ângulo (ζ) zeta, quando movemos o ponto correspondente, a abertura do ângulo modifica-se, consequentemente o valor de sua medida também, assim com relação às razões trigonométricas, verificamos que quando varia a abertura do ângulo, os valores das razões alteram-se também, conforme os conceitos relativos à seno, cosseno e tangente.

Adição algébrica

Adição algébrica de polinômios


Multiplicação de monômios


Multiplicação de polinômios
Para exemplificar a multiplicação de polinômios, vamos utilizar o modelo matemático do cálculo do volume de um sólido geométrico, no caso, o cálculo do volume de um paralelepípedo, conforme imagem abaixo:

Divisão de polinômios

Fatoração

Estudo do volume
Como calcular o volume de um bloco retangular?
É simples, basta multiplicarmos, seu comprimento, por sua largura e por sua altura, então V=c . l. h, não esquecendo que as unidades de medidas para o volume, devem ser pensadas em medidas cúbicas, ou seja,m³, cm³, etc.



Se o sólido for um cubo, devemos lembrar que este tem suas faces e arestas (a) iguais, portanto seu volume será dado por V = a³.

Teorema de Tales

"Quando  retas paralelas são cortadas por retas transversais, as medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais."
Vejamos:
   Traçamos três retas paralelas r, s e t, cortadas por retas transversais u e v.

   Observe que os triângulos, são semelhantes pois, têm os ângulos correspondentes congruentes, logo as medidas dos lados correspondentes são proporcionais: (a construção dos triângulos, são usadas para provar a proporcionalidade dos segmentos formados pela interceptação das retas transversais pelas retas paralelas).

a/b = AG/BH

   Observamos também que: AG = c, pois são as medidas dos lados opostos do paralelogramo AGED.

                                           BH = d, pois são as medidas dos lados opostos do paralelogramo BHFE

Assim mostramos que há proporcionalidade entre eles:

a/b = c/d

    A partir do teorema de Tales podemos escrever outras proporções:

x/a = y/c

x/b = y/d

a/c = b/d

Teorema de Pitágoras

     Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a², b² e c².
     Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos.

Semelhança de triângulos

Teorema fundamental da semelhança de triângulos
     Toda reta que é paralela a um lado de um triângulo e intercepta os outros dois lados em dois pontos distintos determina com esses lados um segundo triângulo semelhante ao primeiro.

Equação do primeiro grau

     Ao resolvermos uma equação do primeiro grau, obtemos um resultado, esse resultado pode ser chamado de raiz da equação ou conjunto verdade ou conjunto solução da equação.
     Se substituirmos este resultado na incógnita, chegamos a uma igualdade numérica.
     Por exemplo:
     A expressão 2x - 10 = 4, é uma equação do 1º grau com uma incógnita (x). Resolvendo-a:

     2x - 10 = 4 -> 2x -10 +10 = 4 + 10 -> 2x = 14 -> 2x/2 = 14/2 -> x= 7, logo S=7.

     Portanto 7, é o conjunto verdade da equação, solução ou raiz da equação dada.

     Se substituirmos o x (incógnita) pela raiz, chegaremos a uma igualdade numérica, como a seguir:

     2 . 7 - 10 = 4 -> 14 - 10 = 4 -> 4 = 4, é uma igualdade numérica, logo tiramos a prova real de que 7 é a raiz da equação.

Cálculo das diagonais de um polígono

     Este cálculo pode ser efetuado pela fórmula: d= n(n-3)/2, onde d, representa o número de diagonais a serem descobertas e n representa do número de lados do polígono procurado.
Desvendando a fórmula
Por exemplo, dado um retângulo qualquer de vértices A,B, C e D.

     Isolamos um vértice, por exemplo, o vértice A. Para este vértice, somente é possível traçar uma diagonal com outro vértice não adjacente a ele.
     Criamos a fórmula: d= n-3, porque (-3)? Porque desconsideramos os outros 3 vértices em que não é possível traçar uma diagonal.
     A seguir aplicamos esta fórmula (d=n-3) ao retângulo em questão, então, como retângulo têm quatro lados (n=4), logo: d= 4 - 3, portanto para o vértice A, temos uma diagonal.
Ainda se temos uma fórmula que calcula o vértice do polígono, podemos então generalizar, isto é, para n lados, podemos multiplicar a fórmula obtida acima, para encontramos o número de diagonais de qualquer polígono.
     Mas observe que, uma diagonal tem dois sentidos (pois pode ser compartilhada por dois vértices), logo temos a necessidade de se dividir por dois, logo a fórmula é igual a:
                                                                 

Princípio fundamental da contagem

     Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades   da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideremos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n.

Exemplo 1:

De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
Logo: A primeira pessoa tem 5 opções;
          A segunda pessoa tem 4 opções;
          A terceira pessoa tem 3 opções, logo pelo princípio fundamental da contagem (PFC), temos:
          5 . 4 . 3 = 60, então as três pessoas tem 60 possibilidades.

Exemplo 2:

      Maria deseja formar um conjunto calça-blusa para vestir-se. Se ela dispõe de 4 calças e 6 blusas para escolher, de quantos modos pode forma o conjunto?

Relações métricas na circunferência

Reta e circunferência

Tarefas sobre função quadrática

Função

Uma função pode ser:
- uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um dos seus elementos;
- uma lei para que cada valor x, é correspondido por um elemento y, também denotado por f(x);
Tipos de funções matemáticas
- função sobrejetora, injetora, trigonométrica, modular, do primeiro grau, do segundo grau, exponencial, logarítmica, polinomial, dentre outras.
Cada função é definidas por leis generalizadas e propriedades específicas.

Função no cotidiano
Na padaria em que Marcelo trabalha, o preço do pão francês é R$ 0,35.
Perto do balcão há uma placa com os preços:

- Que grandezas estão relacionadas nessa situação?

  (grandeza é tudo o que podemos contar, medir, pesar.)

  Na questão estão relacionadas duas grandezas: o número de pães e o respectivo preço, isto é, conforme varia uma, a outra varia também, de forma que a cada quantidade de pães corresponde a um único preço. 

Por isso, podemos dizer que o preço à pagar, é função do número de pães.

- Que fórmula poderia ser usada  para calcular o preço de uma quantidade qualquer de pão?

Para calcular o preço Y de uma quantidade n qualquer de pães, podemos usar uma sentença matemática para representar  essa função:

y = 0,35 . n ou y = 0,35n

Essa sentença é chamada lei de formação, ou fórmula dessa função.

Definição de função

É uma relação entre duas variáveis x e y, tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x esta associado, um e somente valor para y.

- a relação é expressa por y=f(x);

- o conjunto de valores de x é dito domínio da função.

- as variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente. 

Noção de função via conjuntos
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B (f:A-> B), é uma regra que diz como associar cada elemento x que pertence à A a um único elemento y que pertence a B.

A função f, transforma x de A em y de B.

O conjunto A chama-se Domínio da função (D(f))

O conjunto B, chama-se contradomínio da função (CD(f))

Imagem de uma função f (Im(f)), é a regra que associa os dois conjuntos.

Este diagrama não representa uma função, pois existe um elemento no conjunto A (o número zero) que não tem correspondente em B.

Representação gráfica de função

Dada uma função y=f(x), consideramos no plano, com sistema de coordenadas cartesianas, o conjunto de pontos (x,y).
Este conjunto é denominado gráfico da função f.

Identificação de uma função por meio do gráfico
Ao analisar um gráfico, podemos saber se ele representa uma função. Observe:

Este gráfico não representa uma função,pois há valores de que estão associados a mais de um valor de y=f(x). Note, por exemplo, que para x=0 estão associados y=3 e y=-3.

Este gráfico representa uma função, pois para cada valor de x está associado um único valor de y=f(x). 

Na simulação acima, observamos que ao movermos o ponto, este nos apresenta a construção da parábola, ponto a ponto, no plano cartesiano, através dos pares ordenados (x,y).

Função afin

É toda função, pertencente ao conjunto dos reais, em que f(x)=ax + b, com a e b reais.
Por exemplo: f(x)=3x + 2, é uma função afim com a=3 e b=2.

• Quando a é diferente de zero, a função de lei f(x)=ax + b, é uma função polinomial do 1º grau.
• Quando a = 0, a função de lei f(x)= ax + b é chamada função constante. Por exemplo: f(x)=5.

Gráfico da função afim

• O gráfico de uma função afim é sempre uma reta.
• O gráfico de uma função polinomial do 1º grau intercepta o eixo das abcissas em um único ponto cuja abcissa corresponde ao zero da função.

O gráfico de uma função afim intercepta o eixo das ordenadas em um único ponto.

Função polinomial do 2º grau ou quadrática

Uma função chama-se quadrática ou polinomial do 2º grau quando, para todo x que pertence ao conjunto dos reais, tem-se f(x)= ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais com a diferente de zero.

Gráfico da função quadrática
Toda função quadrática tem como gráfico uma figura chamada parábola.
     Considerando a função quadrática dada por f(x) = ax² + bx + c, temos:
     - Quando a>0, a concavidade da parábola é voltada para cima.
     - Quando a<0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.


Zeros da função quadrática
 Os zeros de uma função quadrática f são os valores de x reais tais que f(x)=0.
 No gráfico, os zeros de uma função quadrática correspondem às abscissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo x, já que nestes pontos tem-se f(x)=0.


Vértice
 O vértice nos informa o ponto mais alto ou mais baixo que a curva atinge.
 A ordenada do vértice da parábola, representa o valor mínimo da função quando a>0, ou o valor máximo da função quando a<0.

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.

Estudo do vértice de uma parábola

Nesse caso, V é o ponto em que a função tem seu valor mínimo.
Para a função f(x)= ax² + bx +c. e por causa da simetria do gráfico da parábola, observe que os pontos de abcissa (Xv + 2) e (Xv -2) têm a mesma ordenada. Assim podemos escrever:
a(Xv + 2)² + b(Xv + 2) + c = a(Xv - 2)² + b(Xv - 2) + c
a(Xv)² + 4aXv+4 +bXv + 2b+ c= a(Xv)² - 4Xv+4 + bXv - 2b + c
aXv² - aXv² + 4aXv +4Xv + 4 - 4+bXv-bXv +2b+2b + c -c =0
8aXv + 4b = 0
8aXv = - 4b(:4)
2aXv =- b
Xv = - b / 2a ==> logo esta é a "fórmula", para calcular o vértice, relativo ao eixo X (eixo das abcissas).
   Mas para definirmos o par ordenado que define o vértice é necessário encontrarmos o valor da ordenada Y(eixo vertical Y). Para isto basta, substituirmos X por Xv, na fórmula: Yv = aX²v + bXv + c, logo:
Yv = a (- b/2a)² + b(-b/2a) = c, então: Yv = - (b²-4ac)/4a.